Question

（本小题满分14分）已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝c，

2S_n＝a_n a_n＋1＋r．

  （1）若r＝－6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由；

  （2）设，，

 若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．

Answer

【解析】
（1）n＝1时，2a1＝a1 a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．

n≥2时，2Sn＝an an＋1＋r，①    2Sn－1＝an－1 an＋r，②

①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．

则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．

a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．

要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．

∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．

∵当c＝－2，，不合题意，舍去.

∴当且仅当时，数列为等差数列             ……………………………………6分

（2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．

＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．     ………………………8分

∴   

．

＝．     ……………………………………10分

∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．

又∵r＞c＞4，∴，则0＜；．

∴＜1．．∴＜1．

 所以：

又＞－1． 

所以：

综上，对于一切n∈N*，不等式恒成立．  …………………14分

【解析】略