Question

（本小题满分14分）如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．

   （Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；

   （Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

                           

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角A－PB－D的大小为60°。

【解析】（Ⅰ）证明:,

．……2分

    又,……4分

    ∴  PD⊥面ABCD………6分

    （Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

    过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

    ∵PD⊥面ABCD, ∴,

    又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB．

    ∴AO⊥PB,

    ∵,

    ∴,从而,

    故就是二面角A－PB－D的平面角．……………………10分

    ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

    ∴在Rt△PDB中, ,

    又∵,    ∴,………………12分

      ∴  ．

故二面角A－PB－D的大小为60°．…………………14分

    （也可用向量解）