Question

（本题满分14分）

如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；（4分）

（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分

Answer

（1）略

（2）略

（3）；

【解析】（1）如图，在上取点，使，连结， 

，则，．

因为，，所以四边形，都为平行四边形．

从而，．

又因为，所以，故四边形是平行四边形，

由此推知，从而．

因此，四点共面．

（2）如图，，又，所以，

．

因为，所以为平行四边形，从而．

又平面，所以平面．

（3）如图，连结

因为，，

所以平面，得．

于是是所求的二面角的平面角，即．

因为，所以

，

．

解法二：

（1）建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，

而，由题设得，

得．

因为，，有，

又，，所以，

，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，

于是，．

而，，得，

，解得，，所以．

又平面，

所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．