Question

（本小题满分14分）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

Answer

（1）当时，函数在定义域上单调递增

（2）时，有惟一最小值点

（3）略

【解析】【解析】
（Ⅰ）由题意知，的定义域为，

设，其图象的对称轴为，

．

当时，，

即在上恒成立，

当时，，

当时，函数在定义域上单调递增．

   （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，

时，，

时，，

时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，

，，

时，，，

即，．

时，，随的变化情况如下表：

极小值

由此表可知：时，有惟一极小值点，

当时，，

，

此时，，随的变化情况如下表：

极大值

极小值

由此表可知：时，

有一个极大值和一个极小值点；

综上所述：时，有惟一最小值点；