Question

（本小题满分14分）

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

                              

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）二面角的大小为．

【解析】解:（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，∴． ……………2分

∵平面，平面，

∴平面．………… 4分

（Ⅱ）连接，

∵正方形的边长为，，

∴，，，

则，∴．   ……6分

∵在长方体中，，

，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面．          ……………8分

（Ⅲ）在平面中过点作于，连结，

∵，，

∴平面，又平面，   …………9分

∴，又，且，

∴平面，而平面，    …………10分

∴．∴是二面角的平面角．           ………………12分

在中，，

∴，，∴二面角的大小为．    ……………14分

解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴

又点，，

∴

∴，且与不共线，

∴．

又平面，平面，

∴平面． ………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．  ……………………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为平面的法向量．

∵，，

∴为平面的法向量．

∴，

∴与的夹角为，

即二面角的大小为．  …………………14分