Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面 所成的角为45°，且．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）求二面角的余弦的大小．

Answer

【解析】
（Ⅰ）证明：因为底面，

       所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角         …………………1分       

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，…………………3分

  又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以.   …………………4分

       因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

       所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分

       由于SA∩AP=A     所以平面SAP． …………………6分

   （Ⅱ）设Q为AD的中点,连结PQ, …………………7分

       由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD，

       则平面SAD⊥平面PAD  …………………8分

,PQ⊥平面SAD，SD平面SAD,     .

       过Q作QR，垂足为，连接，则.

       又，，

       ∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…………10分

       容易证明△DRQ∽△DAS,则.

       因为，，

       所以.    …………………12分

       在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，,

       所以.  …………………13分

       所以二面角A－SD－P的余弦为． …………………14分

       解法二：因为底面，

       所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角.     ……1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

       建立空间直角坐标系（如图）

       由已知，P为BC中点．

       于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）……………3分

   （Ⅰ）易求得,

       ，． …………………4分

       因为，.

       所以，.

       由于，所以平面.  …………………6分

   （Ⅱ）设平面SPD的法向量为.

       由,得解得，

       所以.  …………………9分

       又因为AB⊥平面SAD，所以是平面SAD的法向量，

       易得. …………………9分

       所以.  …………………13分

       所以所求二面角的余弦值为．…………………14分

【解析】略