Question

(本小题满分12分)

已知函数f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x²，记F(x)=g(x)-f(x)

（Ⅰ）判断F(x)的单调性；

（Ⅱ）当a≥时，若x≥1，求证：g(x-1)≥f()；

（Ⅲ）若F(x)的极值为，问是否存在实数k，使方程g(x)-f(1+x²)=k有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）， 

当时，>0恒成立  ∴在（0，+∞）上单调递增；

当>0时，若，＜0  ∴在（0，）上单调递减；

若＞，＞0，∴在（，+∞）上单调递增．．．．．．．．．．．．．４分

（Ⅱ）令，则，

所以在［1，+∞）上单调递增，∴，∴．．．８分

（Ⅲ）由（１）知仅当>0时，在＝处取得极值

由可得＝２ ∴．．．1

令，得．．．2

方程1有四个不同的根，则方程2有两个不同的正根，

令，当直线与曲线相切时，由导数知识可得切点坐标（３，）   ∴切线方程为，其在y轴上截距为；

当直线在y轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（附：也可用导数求解）

【解析】略