Question

（本小题满分16分）

已知数列满足＝0，＝2，

且对任意m，n∈都有＋＝＋

（1）求，；

（2）设＝－( n∈)，证明：是等差数列；

（3）设＝(－)( q≠0，n∈)，求数列的前n项的和．

Answer

解析：（1）由题意，令m＝2，n＝1，可得＝－＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得＝－＋8＝20．

（2）当n∈时，由已知(以n＋2代替m)可得＋＝＋8，于是[－]－(－)＝8，即－＝8．所以是公差为8的等差数列．

（3）由（1）（2）可知是首项＝－＝6，公差为8的等差数列，则＝8n－2，即－＝8n－2．另由已知(令m＝1)可得，＝－．那么

－＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，于是＝．

当q＝1时，＝2＋4＋6＋…＋2n＝n (n＋1)．

当q≠1时，＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·，两边同乘以q，可得＝2·＋4·＋6·＋…＋2n·．上述两式相减，得

＝－2n＝－2n＝，

所以＝．

综上所述，＝

【解析】略