Question

（本小题满分16分）

对于函数y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长， 则称函数为“保三角形函数”．

对于函数y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“＝x，＝，＝(定义域均为x∈(0，)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

（2）若函数＝，x∈，是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数是定义在(0，上的周期函数，且值域也为(0，，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．

Answer

解析：（1）对于＝x，它在(0，上是增函数，不妨设a≤b≤c，则≤≤，因为a＋b＞c，所以＋＝a＋b＞c＝，故是“保三角形函数”．

对于＝，它在(0，上是增函数，，不妨设a≤b≤c，则≤≤，因为a＋b＞c，所以＋＝＋＝＞＞＝，故是“保三角形函数”．

对于＝，取a＝3，b＝3，c＝5，显然a，b，c是一个三角形的三边长，但因为＋＝＜＝，所以，，不是三角形的三边长，故不是“保三角形函数”．

（2）解法1：因为＝1＋，所以当x＝0时，＝1；当x＞0时，＝1＋．

①当k＝－1时，因为＝1，适合题意．

②当k＞－1时，因为＝1＋≤1＋＝k＋2，所以∈，．从而当k＞－1时，∈，．由1＋1＞k＋2，得k＜0，所以－1＜k＜0．

③当k＜－1时，因为＝1＋≥1＋＝k＋2，所以∈，，从而当k＞－1时，所以∈，．由得，k＞，所以＜k＜－1．

综上所述，所求k的取值范围是(，0)．

解法2：因为＝＝，

①当k＝－1时，因为＝1，适合题意．

②当k＞－1时，可知在，上单调递增，在，上单调递减，而＝1，＝k＋2，且当x＞1时，＞1，所以此时∈，．

③当k＜－1时，可知在，上单调递减，在，上单调递增，而＝1，＝k＋2，且当x＞1时，＜1，所以此时∈，．

（以下同解法1）

（3）①因为的值域是(0，，所以存在正实数a，b，c，使得＝1，＝1，＝2，显然这样的，，不是一个三角形的三边长．

故不是“恒三角形函数”．

②因为的最小正周期为T(T＞0)，令a＝b＝m＋kT，c＝n，其中k∈，且k＞，则a＋b＞c，又显然b＋c＞a，c＋a＞b，所以a，b，c是一个三角形的三边长．

但因为＝＝＝1，＝＝2，所以，，不是一个三角形的三边长．

故也不是“保三角形函数”．

（说明：也可以先证不是“保三角形函数”，然后根据此知也不是“恒三角形函数”．）

【解析】略