Question

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存

在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

Answer

  （1）当时，；

当时，，

    所以；

综上所述，．                                 ……………………3分

   （2）当时，若存在p，r使成等差数列，则，

因为，所以，与数列为正数相矛盾，因此，当时不存在； …………5分

    当时，设，则，所以， ……………………7分

    令，得，此时，，

    所以，，

    所以；

综上所述，当时，不存在p，r；当时，存在满足题设.

……………………10分

（3）作如下构造：，其中，

它们依次为数列中的第项，第项，第项， ……12分

显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．

由的任意性，这样的三角形有无穷多个．                    ……………………14分

下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似：

若三角形和相似，且，则，

整理得，所以，这与条件相矛盾，

因此，任意两个三角形不相似．

故命题成立．                                                  ……………………16分

【解析】略