Question

必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.

（1）当时，求直线AP与平面BDD1B1所成角的度数；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论.

Answer

（1）60º

（2）Q为的中点时

【解析】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B1(1,1,1),  D1(0,0,2).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则=，

解得.故当时，直线AP与平面所成角为60º.  ………5分

（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，

则.

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为的中点时，满足题设的要求.                 ……………10分