Question

（本小题满分13分）

已知数列{a_n}中，a₂＝p(p是不等于0的常数)，S_n为数列{a_n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S_n＝.

(1)证明：数列{a_n}为等差数列；(2)记b_n＝＋，求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)记c_n＝T_n－2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有c_n∈(，3)，若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．

Answer

解析：(1)由S1＝a1＝＝0得a1＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－an－1，故(n－2)an＝(n－1)an－1，

故当n＞2时，an＝an－1＝··…····a2＝(n－1)p，由于n＝2时a2＝p，n＝1时a1＝0，也适合该式，故对一切正整数n，an＝(n－1)p，an＋1－an＝p，由于p是常数，故数列{an}为等差数列．

(2)Sn＝＝，

bn＝＋＝＋＝2＋2(－)，

∴Tn＝2n＋2(1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－)

＝2n＋2(1＋－－)

＝2n＋3－2(＋).

(3)cn＝Tn－2n＝3－2(＋)＜3对所有正整数n都成立；

若cn＞，即3－2(＋)＞⇒＋＜，记f(n)＝＋，则f(n)单调递减，又f(6)＝＋＞＋＝，f(7)＝＋＜＋＝，故只要取N＝6，则当n＞N时，f(n)＜.故存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈(，3)．N可以取所有不小于6的正整数．

【解析】略