Question

（本小题满分13分）

已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当 时，总有．

   （1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；

   （2）解不等式：；

   （3）若对所有的恒成立，其中（是常数），试用常数表示实数的取值范围．

Answer

（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

   （2）．

   （3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的 恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．

【解析】（1）在上是增函数，证明如下：

任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数

   （2）由在上是增函数知：

，

故不等式的解集为．

   （3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的 恒成立，只需成立，即成立．

①当时，的取值范围为；

②当时，的取值范围为；

③当时，的取值范围为R．