Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点，

（1）证明：EF∥面PAD；

（2）证明：面PDC⊥面PAD；

（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．

Answer

（1）如图，连接AC，

∵ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴AC必经过F                        1分

又E是PC的中点，

所以，EF∥AP                          2分

∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD                                        4分

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP面PAD，∴AP⊥CD                                                                     6分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD                                  7分

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD                                                8分

（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则

A（1，0，0），P（0，0，1）                                                                   9分

由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），

，                                                               10分

设面BPD的法向量，

由得

取，则，

向量和的夹角的余弦           11分

所以，锐二面角B—PD—C的余弦值                                                 12分

【解析】略