Question

（本小题满分12分）

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列 

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

Answer

（1）a2=－，a3=－，a4=－,由此可推出  an=

（2）略

【解析】解  ∵an,Sn,Sn－成等比数列，

∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                       (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得  a3=－

同理可得  a4=－,由此可推出  an=

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立 

②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

故Sk2=－·(Sk－)

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= (舍)

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

由①②知，an=对一切n∈N成立