Question

（本小题满分14分）

    已知曲线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.

（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；

（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线与抛物线所围成封闭区域的面积；

（Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

Answer

（Ⅰ）抛物线的方程为，其准线方程为.

（Ⅱ）直线与抛物线所围成封闭区域的面积为:

（Ⅲ）BC的方程为，即.

【解析】.【解析】
（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线上， 所以  ，即.    ……………….2分

         故所求抛物线的方程为，其准线方程为.      ……………….3分

（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为  …….4分

将其代入抛物线的方程，得  , 解得  ,    …….5分

所以直线与抛物线所围成封闭区域的面积为:

                                        ……………….6分

   ……………….8分

（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为，                                      ……………….9分

      由

      得,          ……………….10分

      易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，

      所以点B的坐标为,

      同理可得C点坐标为,                 ……………….11分

      所以

,                           ……………….12分

      线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，

      所以  ,由于，  解得  .     …………….13分

      此时，点B的坐标为，点C的坐标为，

      直线BC的斜率为，

      所以，BC的方程为，即.   …….14分