Question

（（本小题满分12分）

     已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（1）求证：EF平面PAD；

（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

Answer

【解析】
方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                            ）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………4分

（II）【解析】
过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO 平面ABCD．

取AO中点M，连OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO  ∴ 即为所求       …………8分

  ，EM＝ＯＭ＝１ 

 ∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是   …………12分

方法2：（I）证明：过P作P O AD于O，∵，

则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，        …………2分

∵PA＝PD ，∴，

得，

， …………（4分）

故，

∵，

∴EF 平面PAD；                         …………4分

（II）【解析】
，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，    …………8分

平面ABCD的一个法向量为……（12分）

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；              …………12分

【解析】略