Question

（本题满分12分）

已知点P（-1,）是椭圆E：（）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0<λ<4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；

（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer

【解析】
（1）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：；…………………3分

⑶设直线AB的方程为y=x+t，

与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,

△=3（4-t2），

AB|=，

点P到直线AB的距离为d=,

△  PAB的面积为S=|AB|×d=,  ………10分

设f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16） （-20，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，

所以S的最大值为．

此时x1+x2=-t=1=-2，=3．……………………………………12分

【解析】略