Question

（本小题满分12分）

已知数列满足

   （I）求的取值范围；

   （II）是否存在，使得？证明你的结论。

Answer

【解析】

（Ⅰ）由a2＝＜a1解得－3＜a1＜0或a1＞3．………………………………1分

当－3＜a1＜0时，a2＝＜＝－3，

a3－a2＝－a2＝＞0，a3＞a2，与题设矛盾．…………………………3分

当a1＞3时，先用数学归纳法证明an＞3．

（1）当n＝1时不等式成立．

（2）假设当n＝k时不等式成立，即ak＞3，则

ak＋1＝＞＝3，

即当n＝k＋1时不等式仍成立．

根据（1）和（2），对任何n∈N*，都有an＞3．………………………………6分

∵an＋1－an＝－an＝＜0，∴an＋1＜an，n∈N*，

综上，a1的取值范围是(3，＋∞)．………………………………………………8分

（Ⅱ）假设存在使题设成立的正整数m，则

(am－3)(am＋2－3)＝(am＋1－3)2即(am－3)·＝(am＋1－3)2，

∴am－3＝2am＋1，即am－3＝，从而am＝－3，这不可能．

【解析】略