（本小题共12分）设x=3是函数f (x) = (x2+ax+b)·e3-x ...

（本小题共12分）

设x=3是函数f (x) = (x2+ax+b)·e3-x (x∈R)的一个极值点。

⑴求a与b的关系式，(用a表示b)，并求f(x)的单调区间。

⑵设a>0，，若存在ε1，ε2∈[0，4]，使｜f (ε1)-g (ε2)｜<1成立，求a的取值范围

(1) 当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，，f(x)为减函数；在区间（3，－a－1）上f (x)为增函数。在区间（－a－1，+∞）上f (x)为减函数。当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，－a－1）上f(x)为减函数；在区间（－a－1，3）上，为增函数；在区间（3，+∞）上， f(x)为减函数。 (2) 【解析】【解析】 ⑴ （2分）＝令由于x＝3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，，f(x)为减函数；在区间（3，－a－1）上f (x)为增函数。在区间（－a－1，+∞）上f (x)为减函数。（4分）当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，－a－1）上f(x)为减函数；在区间（－a－1，3）上，为增函数；在区间（3，+∞）上， f(x)为减函数。（6分） ⑵由①知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，而f (0)＝－（2a+3）e3<0，f (4)＝（2a+13）e-1>0，f（3）＝a+6，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a+3）e3，a+6]，（8分）又g (x)＝在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是（10分）由于所以只需故a的取值范围是。（12分

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