Question

(本题满分12分)

已知椭圆的左、右焦点为，过点斜率为正数的直线交两点，且成等差数列。

（Ⅰ）求的离心率；

（Ⅱ）若直线y=kx（k<0）与交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。

Answer

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有

|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a，                                                                   ①

|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，                                                                        ②

|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，                                                                      ③…3分

由①、②、③，解得|AF2|＝a，|AB|＝a，|BF2|＝a，

所以点A为短轴端点，b＝c＝a，Γ的离心率e＝＝．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2＋2y2＝a2．                              

不妨设C(x1，y1)、D(x2，y2)（x1＜x2），

则C、D坐标满足

由此得x1＝－，x2＝．

设C、D两点到直线AB：x－y＋a＝0的距离分别为d1、d2，

因C、D两点在直线AB的异侧，则

d1＋d2＝＋＝

＝＝＝．………………………8分

∴S＝|AB|( d1＋d2)＝·a·＝·．

设t＝1－k，则t＞1，＝＝，

当＝，即k＝－时，最大，进而S有最大值．……………………12分

【解析】略