Question

（本小题满分12分）

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．

   （Ⅰ）求证：DE⊥AC；

   （Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；

   （Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

Answer

【解析】
（Ⅰ）以A为坐标原点AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

   则,,

   做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且

 又  ，所以C的坐标为

  ，

故DE⊥AC                                                        ………4分

（Ⅱ）设平面BCE的法向量为 则

    即

令x=1得    又                        ………6分

设平面DE与平面BCE所成角为，则

  .                            ………8分

(III)假设存在点M使得CM∥面ADE，则

,  得     ………10分

又因为，  所以

因为CM∥面ADE，则 即

 得

故 点M为BE的中点时CM∥面ADE.                                   ………12分

【解析】略