Question

（本小题满分13分）

已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；

③圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程．

Answer

圆的方程是，或

【解析】（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，

则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．

由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°

圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2，      ……3分

圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，

得2b2- a2=1．                                      …………6分

 又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，得d=，

即有 ……9分

     综前述得，解得，，于是r2= 2b2=2

     所求圆的方程是，或   …………13分

（法二）设圆的方程为，

令x =0，得，

        所以，得

        再令y=0，可得，

所以，得，

即，从而有2b2- a2=1．

又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，得d=，

即有

     综前述得，解得，，于是r2= 2b2=2

     所求圆的方程是，或