Question

（12分）定义在区间(－1，1)上的函数f (x)满足：①对任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②当x∈(－1，0)，f (x) > 0.

    （1）求证f (x)为奇函数；

    （2）试解不等式：f (x) + f (x－1) .

Answer

（1）略

（2）不等式的解集为

【解析】【解析】
（1）【解析】
令x = y = 0，则

        f (0) + f (0) =   ∴ f (0) = 0

        令x∈(－1, 1)  ∴－x∈(－1, 1)

        ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

        ∴ f (－x) =－f (x)

        ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数…………………4分

（2）【解析】
令－1< x1 < x2 < 1

        则f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) =

        ∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0

        ∴  ∴ > 0

        ∴ f (x1) > f (x2)  ∴ f (x) 在(－1，1)上为减函数

        又f (x) + f (x－1) >

        …………………8分

        ∴ 不等式化为

    或

    ∴ 不等式的解集为…………………12分