Question

（本题满分12分）

    已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。

Answer

A=｛4,5,6｝ 

【解析】解法一：依题意，不妨设，对应的三个内角是

由正弦定理，        …………………………4分

所以               …………………………6分

由余弦定理，  ……………8分

即 化简，得：             

所以，不合题意，舍去。

，三角形的三边长为4,5,6.             …………………………10分

可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分

故：A=｛4,5,6｝                           …………………………12分

解法二：先考虑三角形应满足的第一个性质：三边是连续的自然数

⑴三边长不可能是1,2,3，因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边；

                                              …………………………1分

⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2，b=3，c=4

因为，

此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是所以2A≠C从而三边

长分别是a=2，b=3，c=4不符合条件。           …………………………3分

⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是900，最小角不等于450，此三角形不满足条件。  …………………………5分

⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4，b=5，c=6，此时

，，

因为，所以2A=C

故三边长分别是a=4，b=5，c=6满足条件。     …………………………8分

   ⑸当n>4时，三角形ABC的三边长分别是a=n，b=n+1，c=n+2时，三角形的最小角是A，最大角是C，

随n的增大而减小，A随之增大，随n的增大而增大，C随之减小。由于n=4时有2A=C，所以n>4时不可能有2A=C。      …………………………11分

总上可知，只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件，即A=｛4,5,6｝  …………12分