Question

（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），

求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．

Answer

（Ⅰ）所求椭圆方程为。

（Ⅱ）实数的取值范围是．

（Ⅲ）当时，的面积最大，最大值为．

【解析】【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有

 解得 ．

所求椭圆方程为．        ……………………………3分

（Ⅱ）由，得．

设点、的坐标分别为、，则……4分

．

（1）当时，点、关于原点对称，则．

（2）当时，点、不关于原点对称，则，

由，得       即

点在椭圆上，有，

将①、②两式，得．

，，则且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………9分

【注】 此题可根据图形得出当时，当、两点重合时．

如果学生由此得出的取值范围是可酌情给分．

（Ⅲ），点到直线的距离，

的面积

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化简，得．

，．                    ……………………… 11分

当且仅当，即时，等号成立．

当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分