Question

（本题满分12分）在数列和中，，，，其中且，.

（Ⅰ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；

（II）设，，试问在区间上是否存在实数使得.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由.

Answer

（Ⅰ）略

（II）在区间上存在实数，使成立，且当时，；当时，.

【解析】（Ⅰ）由已知，假设，，成等比数列，其中，且彼此不等,则，   ………2分

所以，所以，

若，则，可得，与矛盾；   ………4分

若，则为非零整数，为无理数，

所以为无理数，与是整数矛盾.      

所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. …………………6分        

（Ⅱ）设存在实数，使，设，则，且，

设，，则，所以，

因为，且，所以能被整除.  …………………7分

（1）当时，因为， ，所以；……9分

（2）当时，，

由于，所以，，所以，当且仅当时，能被整除.…………12分

（3）当时，

，

由于，所以，

所以，当且仅当，即时，能被整除.   ……11分

综上，在区间上存在实数，使成立，且当时，；当时，.  …………12分