Question

（本题满分14分）

如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，。

把沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于。对于图二，

（1）求的长，并证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer

（1）取的中点，连接，由，得：

       ，∴就是二面角的平面角，

∴。

中，，

，故。

由，，∴，

，∴，即、，

又，∴平面。

（2）法一：由（1）知平面，平面，∴平面平面，平面平面，作交于，则平面，

    ∴是与平面所成的角，。

法二：设点到平面的距离为，∵，

∴，∴，于是与平面所成角的正弦为。

法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系

，则。设平面的法向量

为，则，，得，取

，则，于是与平面所成角的正弦即为

。

【解析】略