Question

（本题满分15分）

   函数，其中。

   （1）若函数在其定义域内是单调函数，求的取值范围；

   （2）若对定义域内的任意，都有，求的值；

   （3）设，。当时，若存在，

使得，求实数的取值范围。

Answer

（1）。由题设，在内恒成立，或在内恒成立。

        若，则，即恒成立，显然在内的最大值为，所以，。

        若，则，显然该不等式在内不恒成立。

        综上，所求的取值范围为。

   （2）由题意，是函数的最小值，也是极小值。因此，，解得。经验证，符合题意。

   （3）由（1）知，当时，在内单调递增，从而在上单调递增，因此，在上的最小值，最大值

        。

        ，由知，当时，，因此，在上单调递减，在上的最小值，最大值

        ，因，所以。

        ①若，即时，两函数图象在上有交点，此时

          显然满足题设条件。

        ②若，即时，的图象在上，的图象在下，只需，即，即，

          解得。

       综上，所求实数的取值范围为。

【解析】略