Question

（本题满分15分）已知函数．

（1）求函数的图像在点处的切线方程；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明．

Answer

1）【解析】
因为，所以，

函数的图像在点处的切线方程；…………3分

（2）【解析】
由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………4分

令，则，……………………4分

令，则，

所以函数在上单调递增．………………………5分

因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，…6分

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以．…………7分

所以．故整数的最大值是3．………………………8分

（3）由（2）知，是上的增函数，……………9分

所以当时，．…………………10分

即．

整理，得．………………11分

因为， 所以．…………………12分

即．即．………………13分

所以．………………………14分

【解析】略