Question

（本小题满分15分）

若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且f(x)极小值＝f(－)＝－．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）f(x)＝－x3＋x

（2）f(x)max＝

（3）实数k的取值范围是(0，)]

【解析】【解析】
（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，

∴f /(x)＝3ax2＋c，则

故f(x)＝－x3＋x；………………………………5分

（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，

如图所示，

当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；

当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，

当m≥时，f(x)max＝f()＝．

故f(x)max＝．………………10分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，

又令t＝xy，则0＜t≤k2，

故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             ＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]

当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合

当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，

且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，

必须，

故实数k的取值范围是(0，)]．………………15分