Question

（14 分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

   （1）求证：MN//平面PBD；

   （2）求证：AQ⊥平面PBD；

   （3）求二面角P—DB—M 的大小．

Answer

(1) 略

(2) 略

(3)

【解析】【解析】
M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）

       （1）∵ND//MB且ND=MB

       ∴四边形NDBM为平行四边形

       ∴MN//DB………………3分

       ∴BD平面PBD，MN

       ∴MN//平面PBD……………………4分

   （2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

       ∴BD⊥QC……………………5分

       又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

       ∵AQ面AQC

       ∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

       ∵BDPD=B

       ∴AQ⊥面PDB……………………………8分

   （3）解法1：分别取DB、MN中点E、F连结

       PE、EF、PF………………9分

       ∵在正方体中，PB=PB

       ∴PE⊥DB……………………10分

       ∵四边形NDBM为矩形

       ∴EF⊥DB

       ∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角…………11分

       ∵EF⊥平面PMN

       ∴EF⊥PF

       设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

       ∵

       ∴

       …………………………13分

       解法2：设正方体的棱长为a，

       以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

       则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

       ∴………………10分

       ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

       ∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分

       ∴

       ∴………………13分