Question

（本小题满分15分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：

有一个公共点A（3，1），F₁．F₂分别是椭圆的左．右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围．

Answer

【解析】
（Ⅰ）点A代入圆C方程，                      得．  ∵m＜3，∴m＝1．

圆C：．设直线PF1的斜率为k，

则PF1：，即．

∵直线PF1与圆C相切，∴．

解得．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，

b2＝2．椭圆E的方程为：．

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．

则的取值范围是[0，36]．

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．

【解析】略