Question

（本题满分15分）已知函数（）．

   （1）讨论函数的单调性；

   （2）若关于的方程有唯一解，求的值．

Answer

（1）当x时，，当x时，

（2）

【解析】【解析】
（1）由已知得x＞0且………………………3分

    所以当x时，，当x时，．

    故f （x）在上是减函数，在上是增函数．………………………6分

   （2）记g （x） = f （x） – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax,

    ,

    若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解…………………………………8分

    令,得．因为，

    所以（舍去），………………………10分

    当时，，在是单调递减函数；

    当时，，在上是单调递增函数．

    当x=x2时, ，．…………………………………………12分

    因为有唯一解，所以．

    则 即

    两式相减得因为a>0，所以

    设函数，

    因为在x>0时，h （x）是增函数，所以h （x） = 0至多有一解．

    因为h （1） = 0，所以方程（*）的解为x 2 = 1，

    从而解得………………………15分