Question

（本题满分16分）已知函数（）

   （1） 当a = 0时, 求函数在区间[0, 2]上的最大值；

   （2） 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围．              

Answer

（1）2（2）

【解析】【解析】
（1）当a = 0时,  f （x）＝x3－4x2＋5x ,

    …3分

    因为f （0）＝0，f （1）＝2，f （）＝0，f （2）＝2，

    所以区间[0, 2]上最大值2……6分

   （2）一方面由题意, 得    即 …………………………………9分

    另一方面当时, f （x） = （－2x3＋9x2－12x＋4）a＋x3－4x2＋5x ,

    令g（a） = （－2x3＋9x2－12x＋4）a＋x3－4x2＋5x,

    则g（a） ≤ max{ g（0）,  g（） }

    = max{x3－4x2＋5x , （－2x3＋9x2－12x＋4）＋x3－4x2＋5x }

    = max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 },

    f （x） = g（a）≤ max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 },………………………13分

    又{x3－4x2＋5x}=2, {x2－x＋2}=2, 且f （2）＝2,

    所以当时,  f （x）在区间[0,2]上的最大值是2．

    综上, 所求 a的取值范围是  ……………………………………………16分