Question

(本题满分15分) 已知直线l₁：x＝my与抛物线C：y²＝4x交于O (坐标原点)，A两点，直线l₂：x＝my＋m 与抛物线C交于B，D两点．

(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求实数m的值；

(Ⅱ) 过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，D₁．记S₁，S₂分别为三角形OAA₁和四边形BB₁D₁D的面积，求的取值范围．

Answer

(Ⅰ) m＝

(Ⅱ) 的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)

【解析】(Ⅰ) 解: 设B(x1，y1)， D(x2，y2)，

由 得

，

由Δ，得或，

且y1＋y2＝4m， y1y2＝－4m．

又由 得

y2－4my＝0，

所以y＝0或4m．

故A (4m2，4m)．

由 | BD |＝2 | OA |，得

(1＋m2)(y1－y2)2＝4 (16m4＋16m2)，

而 (y1－y2)2＝16m2＋16m，

故m＝．        ………………………… 6分

(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得

x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2m＝4m2＋2m．

 所以＝ 

＝

＝

＝．

令＝t，

因为或，

所以－1＜t＜0或t＞0．

故 ＝，

所以 0＜＜1 或 ＞1，

即 0＜＜1 或 ＞1．

所以，的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)． ………………………15分