Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E为棱PC上的点，且平面BDE⊥平面PBC．

   （1）求证：E为PC的中点；

   （2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer

解法一：（1）证明：如图，作CF⊥BE，垂足为F，

                由平面BDE⊥平面PBC，

                则CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．

                因为PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，

CD为DE在平面ABCD内的射影，

                所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．

                于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E为PC的中点．…………6分

（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，从而EG⊥平面ABCD．

                作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则BD⊥EH，

                故∠EHG为二面角A－BD－E的平面角的补角．………………9分

                不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2，

                在Rt△EGH中，EG＝PD＝1，

                GH＝＝，

                ∴tan∠EHC＝＝．

                因此二面角A－BD－E的大小为－arctan．

解法二：不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2．

            建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

            则D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．

       （1）证明：设＝，则E(0，，)．

            设a＝ (x1，y1，z1)为面PBC的法向量，

            则a⊥，a⊥，

            又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，

            ∴a＝x1＝0，a＝－2y1＋2z1＝0，

            取a＝(0，1，1)．

            设b＝(x2，y2，z2)为面BDE的法向量，

            则b⊥，b⊥，

            又＝(1，2，0)，＝(0，，)，

            ∴b＝x2＋2y2＝0，b＝＋＝0，

            取b＝(，，1)．

            ∵平面BDE⊥平面PBC，

            ∴a·b＝＋1＝0，＝1．

            所以E为PC的中点．…………………………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)为面BDE的法向量，

又c＝(0，0，1)为面ADB的法向量，

∵cos＝＝，

所以二面角A－BD－E的大小为－arccos．……………12分

【解析】略