Question

．（本小题满分12分）

    如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

   （1）求证：AO⊥平面BCD；

   （2）求二面角A—BC—D的余弦值；

   （3）求点O到平面ACD的距离．

Answer

解法一：（1）连接OC，

           ∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，

           ∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC=，

 ∴AO= CO=．…………………………3分

           在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，

∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．

           ∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分

          （2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，

           ∴AE在平面BCD上的射影为OE，∴AE⊥BC，

           ∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角．………………6分

           在Rt△AEO中，AO=，OE=，

tan∠AEO==2，cos∠AEO=，

           ∴二面角A—BC—D的余弦值为．……………………8分

         （3）设点O到平面ACD的距离为h．

∵VO—ACD= VA—OCD，∴S△ACD·h—=S△OCD·AO．

在△ACD中，AD= CD=2，AC=，  

S△ACD=·．

而AO=，S△OCD=，

∴，

∴点O到平面ACD的距离为．…………………………12分

解法二：（1）同解法一．……………………………………4分

       （2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

        则…………5分

        ∵AO⊥平面BCD，

∴平面BCD的法向量=（0，0，）…………6分

设平面ABC的法向量n=（x，y，z），

=（0，-1，-），=（，1，0）．

n·

n·

        由  n=（1，-，1）．

|n|·

n·

        设n与的夹角为，则|cos|==，

         ∴二面角A—BC—D的余弦值为．…………………………8分

       （3）设平面ACD的法向量m=（x，y，z），

|m|·

m·

        又与m的夹角为，则|cos|==．

        设点O到平面ACD的距离为h，

        ∵h=，

∴点O到平面ACD的距离为．…………………………12分

【解析】略