（本题14分）数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意
总有
成等差数列。
（1）求的通项公式；
（2）设数列
的前项和为
，且
，求证对任意的实数
和任意的整数总有
；
（3）正数数列
中，
，求数列的最大项。
（本题13分）已知
。
（1）若
，求
上的最大值与最小值；
（2）当
时，求证
；
（3）当
时，求证：
（本题12分）某汽车厂有一条价值为
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足：①与
成正比；②当
时，
，并且技术改造投入满足
，其中
为常数且
。
（1）求
表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应的值。
（本题12分）函数
的定义域为
，
（1）若
，求函数
的值域；
（2）求函数在
上的最大值和最小值，并求出函数取最值时相应
的值。
（本题12分）已知数列
的前
项和
，且
是
和1的等差中项。
（1）求数列与
的通项公式；
（2）若
，求
；
（3）若
是否存在
，使
？说明理由。
（本题12分）已知命题
关于
的方程
有负根；命题
不等式
的解集为
，若
或
是真命题，且是假命题，求实数
的范围。
