Question

（本题满分14分）

    已知函数，点．

   （Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；

   （Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，，

令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值，

在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，

则只要且即可，即只要即可．

所以的取值范围是．                                    ………… 4分

（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

也即在对任意的恒成立．                  

令，则．        ………… 6分

记，则，

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，

故也是最小值点，所以，

从而，所以函数在单调递增．

函数．故只要即可．

所以的取值范围是                             ………… 9分

（Ⅲ）假设，即，

即，

故，

即．

由于是方程的两个根，

故．代入上式得．   ………… 12分

，

即，与矛盾，

    所以直线与直线不可能垂直．                           ………… 14分

【解析】略