Question

（本小题满分12分）已知抛物线：，焦点为，其准线与轴交于点；椭圆：分别以为左、右焦点，其离心率；且抛物线和椭圆的一个交点记为．

（1）当时，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，若直线经过椭圆的右焦点，且与抛物线相交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程．

Answer

（1）=1

（2）

【解析】(1)当时,F(1,0),F(-1,0)                     

 设椭圆的标准方程为(＞＞0),∴=1,=    

 ∵,∴=2,=                    

故椭圆的标准方程为=1.  ……….4分             

 (2) (ⅰ)若直线的斜率不存在，则：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4

  又∵的周长等于=2+2=6

  ∴直线的斜率必存在.   ………6分                    

（ⅱ）设直线的斜率为，则：

由，得    

∵直线与抛物线有两个交点A，B

∴，且

设则可得， 

于是==

=

= = 

∵的周长等于=2+2=6

∴由=6，解得=

故所求直线的方程为.   …………12分