Question

（满分12分）

已知函数f ( x )=x ²+ax+b

（1）若f (x)在[ 1，+∞)内递增，求实数a的范围。

（2）若对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立，

①求实数 a的值；

②证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.

Answer

① a＝－2②略

【解析】【解析】
（1）a ≥－2

 (2)由f(1+x)=f(1－x)得，

(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，

由于对任意的x都成立，∴ a＝－2.

可知 f (x)=x 2－2x+b，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.设，

则＝（）－（）

＝（）－2（）＝（）（－2）

∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，

∴ ＞0，即，故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.

法2：可用导数证明