Question

(本小题满分14分) 已知函数在处取得极值。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；

（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）略

（Ⅲ）所求的实数a的取值范围是  

【解析】（Ⅰ），依题意，，     …………………………………1分

即，解得      …………………………………3分

经检验符合。

（Ⅱ）

当时，，故在区间上为减函数，

              ………………………………5分

∵对于区间上任意两个自变量的值，

都有

  …………………………………7分

（Ⅲ），

 ∵曲线方程为，∴点不在曲线上，

设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足。

因，故切线的斜率为，

整理得。

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，

∴关于的方程有三个实根。                …………………………………9分

设，则，

由，得或

在上单调递增，在（0,1）上单调递减。

∴函数的极值点为，        …………………………………11分

∴关于方程有三个实根的充要条件是

，解得

故所求的实数a的取值范围是                       …………………………………14分