Question

（本小题满分13分）

已知，函数，，   .

（I）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，试求正实数的取值范围.

Answer

（I）当时，单调递减区间为；

当时，单调递减区间为

（Ⅱ）正实数的取值范围是.      

【解析】（I）由求导得，.………………1分

①当时，由，解得

所以 在上递减.                         …………3分

②当时，由可得

所以 在上递减.                   …………………5分

综上：当时，单调递减区间为；

当时，单调递减区间为                        …………………6分

（Ⅱ）设  . ……………………8分

对求导，得，      ……………………9分

因为，，所以，

在区间上为增函数，则.           ……………………11分

依题意，只需，即，

即，解得或（舍去）.

所以正实数的取值范.                      ……………………13分