Question

（本小题满分13分）已知函数（）.

（1）若函数有三个零点分别为，且，，求函数的单调区间；

（2）若，，证明：函数在区间(0，2)内一定有极值点；

（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围.

Answer

（1）的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是

（2）略（3）

【解析】（1）因为，又，，则

，                                                ……………1分

因为x1，x2是方程的两根，

则，，得，，                                    ……………3分

所以

.

令    解得：                                           

故的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是．             ……………5分

（2）因为，，所以，即.

又，，所以，即.                       …………… 7分

于是，，.     …………… 8分

①当时，因为，而在区间内连续，则在区间内至少有一个零点，设为x=m，则在，>0，单调递增，在，<0，单调递减，故函数在区间内有极大值点x=m；                            ……………9分

②当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.

同理，函数在区间(1，2)内有极小值点.            

综上得函数在区间(0，2)内一定有极值点．                                   …………… 10分

（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数的两个零点，由（2）得，则，.

所以.

由已知，，则，即.

所以，即或.                               …………… 12分

又，，所以，即.

因为，所以. 

综上分析，的取值范围是.                                            ……………13分