Question

(本小题满分13分)

     给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点。求证：⊥.

Answer

【解析】
（1）因为，所以                        2分

所以椭圆的方程为，    准圆的方程为.       4分

（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与准圆交于点

此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是

(或，即为(或，显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线垂直.                 7分

②当都有斜率时，设点其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则，消去得到，

即，

，

经过化简得到：，               9分

因为，所以有，

设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直.                                13分

【解析】略