Question

(本小题满分14分)

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当为偶数时，正项数列满足，求的通项公式；

（3）当为奇数且时，求证：．

Answer

(1)  f(x)在(0,1)是减函数,在(1,+)是增函数

(2) 

(3)略

【解析】【解析】
(1)由已知得，x＞0且．

当k是奇数时,则,则f(x)在(0,+)上是增函数;

当k是偶数时,则,,

所以当x(0,1)时,, 当x(1,+)时,，

故当k是偶数时,f(x)在(0,1)是减函数,在(1,+)是增函数．

(2)由已知得 ．

所以{}是以2为首项,2为公比的等比数列,故．

(3) 由已知得，

所以左边==，

令S=．

由倒序相加及组合数的性质得:

2S=

．       所以 ．

所以, 成立．