Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

   （Ⅰ）证明PA//平面BDE；

   （Ⅱ）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角B—DE—C的余弦值为

（Ⅲ）略

【解析】【解析】
（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），

P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 

∵

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，

又是平面DEC的一个法向量．

设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知

∴  故二面角B—DE—C的余弦值为

（Ⅲ）∵  ∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由  ∴

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF