Question

．(本小题满分13分)

已知椭圆的焦点为，， 

离心率为，直线与轴，轴分别交于点，．

（Ⅰ）若点是椭圆的一个顶点，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若线段上存在点满足，求的取值范围．

Answer

解法一：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，故，   …………………1分

由，得， ∴，                  …………………4分

所以所求的椭圆方程为.                  …………………5分

（Ⅱ）由，可设椭圆方程为，

联立得，          …………………7分

已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，

等价于方程在上有解.………………9分

∴，          

由，故，

故所求的的取值范围是.            …………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）由，设椭圆方程为，

联立得，           …………………7分

已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，

等价于方程在有解.   …………………9分

设，

∴，解得

∴，

故所求的的取值范围是.            …………………13分

【解析】略