Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，侧面

与侧面均     为等边三角形，    ，为中点．

（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

【解析】证明：

（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．

所以为直角三角形，．

又．

所以平面．

（Ⅱ）解法一：

取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．

为二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值为．

解法二：

以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．

设，则．

的中点，

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值为．